SVD 图像处理
奇异值分解在图形压缩中的应用

(1) 奇异值分解

$$A_{m\times n}=U_{m\times m}{\sum }_{m\times n}{V}_{n\times n}^T$$

• 奇异值矩阵：大小和 $A$ 相同，除了主对角线上元素不为 $0$ 以外，其余位置的元素均为 $0$ 。例如：
   

  $$\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 4& 0\end{array}\right]$$
   

• $U_{m\times m}$ 的求解

  • 计算 $P=A\times A^T$，这是一个 $m$ 阶的对称矩阵。
  • 对 $P$ 进行相似对角化，并按特征值从大到小排列，就可得到 $P=U{B}_1{U}^T$。

• $V_{n\times n}$ 的求解

  • 计算 $Q=A^T\times A$，这是一个 $n$ 阶的对称矩阵。
  • 对 $Q$ 进行相似对角化，并按特征值从大到小排列，就可得到 $Q=V{B}_2{V}^T$。

• ${\sum }_{m\times n}$ 的求解

  • 由于 $A\times A^T，A^T\times A$，非零特征值相同。
  • 将这些非零特征值开方并从大到小填入一个和 $A$ 大小相同全零矩阵，形成奇异值矩阵。

(2) 利用 SVD 对原数据进行降维

• 对原理的直观理解：
  • 首先，一个矩阵是由不同的基组成的，矩阵的基通过一定规律的组合就可以将原矩阵还原，而使用 SVD 方法就是将组成矩阵的基找到，$U_{m\times m}$ 反映的就是找到的基，而保证 $U_{m\times m}$ 是一个正交单位矩阵，是由于正交的矩阵其基的冗余信息最少。
  • 其次，每一个基在原矩阵中的“重要性”不同，而 ${\sum }_{m\times n}$ 就反映这个权重。
  • $V_{n\times n}$ 是一个记录基的组合方式，进而完成还原的矩阵。

• 通过保留较少的特征值，可以实现降维，注意这里的降维不是表示矩阵的大小减小，而是降低矩阵的秩。
• 计算保留原矩阵的特征比例$$\lambda =\frac{8.45+4.94}{8.45+4.94+1.11}\times 100\%=92.34\%$$

(3) matlab的相关操作

1. 对单张图片的处理

$①$ matlab 进行奇异值分解
[U,S,V]=svd(A) ，注意这里的 V 是没有进行过转置的，A 要是一个 $n\times n$ 的矩阵。
$②$ matlab 返回主对角线元素 P=diag(A)
$③$ matlab 读入图片
img=imread(图片地址)，注意这样读出来的是一个 uint8 类型的矩阵，要转化成 double 型的才能进行 SVD 操作。
$④$ matlab 转化为灰色图片 I = rgb2gray(A)
$⑤$ matlab 将 RGB 三个颜色矩阵整合成一个 img=cat(3,r,g,b)
$⑥$ matlab 保存图片
imwrite(uint8(A), 保存地址)，注意这里要把颜色矩阵转化回 uint8。

2. 对文件夹中的图片批量处理

$①$ matlab 将文件名拼接

fullfile('dir1', 'dir2', ..., 'filename')
f = fullfile('dir1', 'dir2', ..., 'filename')
具体例子:
输入：f = fullfile('C:','User','matlab','matlab.m')
得到：f =C:\User\matlab\matlab.m

$②$ matlab 文件结构数组

dirOutput=dir('正则表达式');
dirOutput = 

  包含以下字段的 struct 数组:

    name
    folder
    date
    bytes
    isdir
    datenum

3. 视频处理

$①$ matlab 读取视频文件

VideoObj=VideoReader(视频文件的地址)

VideoReader - 属性:
Name - 视频文件名
Path - 视频文件路径
Duration - 视频的总时长（秒）
FrameRate - 视频帧速（帧/秒）
NumberOfFrames - 视频的总帧数
Height - 视频帧的高度
Width - 视频帧的宽度
BitsPerPixel - 视频帧每个像素的数据长度（比特）
VideoFormat - 视频的类型, 如 'RGB24'.
Tag - 视频对象的标识符，默认为空字符串''
Type - 视频对象的类名，默认为'VideoReader'.

$②$ matlab 读取指定帧 video = read(v,index) 只读取 index 指定的帧。