一、logistic回归模型

逻辑斯谛回归模型其实是一种分类模型，这里实现的是参考李航的《统计机器学习》以及周志华的《机器学习》两本教材来整理实现的。

假定我们的输入为 $x$，$x$ 可以是多个维度的，我们想要根据 $x$ 去预测$y$， y ∈ { 0 , 1 } y\in \{0,1\} y∈{0,1}。逻辑斯谛的模型如下：

$$p(Y=1|x)=\frac{exp(w\cdot x)}{1+exp(w\cdot x)}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中的参数$w$就是我们要进行学习的，注意：它是包含了权重系数和偏置（bias）b的。在书写程序时，这样表示更加简洁。

二、极大似然法参数估计

参数$w$是我们需要学习的，我们采用极大似然法估计模型参数。

设：

$$P(Y=1|x)=\pi (x),P(Y=0|x)=1-\pi (x)\text{\hspace{1em}(2)}$$

似然函数为：

$$\prod _{i=1}^N[\pi (x_i){]}^{y_i}[1-\pi (x_i){]}^{1-y_i}\text{\hspace{1em}(3)}$$

因为这种指数的形式不利于求导我们需要将它们转化为对数的形式，如下：

$$\begin{array}{rl}L(w)=& \sum _{i=1}^N[y_{i}log\pi (x_i)+(1-y_i)log(1-\pi (x_i))]\\ =& \sum _{i=1}^N[y_{i}log(\frac{\pi (x_i)}{1-\pi (x_i)})+log(1-\pi (x_i))]\\ =& \sum _{i=1}^N[y_i(w\cdot x_i)-log(1+exp(w\cdot x_i))]\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

对$L(w)$求极大值，得到$w$的估计值。

三、梯度下降法求解似然函数

梯度下降法是求极小值的，而我们想要得到的是$L(w)$的最大值，因此，我们取$L(w)$的相反数，即：

$$\underset{w}{\mathrm{argmin}}-L(w)\text{\hspace{1em}(5)}$$

对$L(w)$关于$w$求导，如下：

$$\begin{array}{rl}(-L(w){)}^{\prime }=& -\sum _{i=1}^N[(y_i\cdot x_i)-\frac{exp(w\cdot x_i)}{1+exp(w\cdot x)}\cdot x_i]\\ =& -\sum _{i=1}^N[(y_i-\frac{exp(w\cdot x_i)}{1+exp(w\cdot x)})\cdot x_i]\\ =& \sum _{i=1}^N[(\frac{exp(w\cdot x_i)}{1+exp(w\cdot x)}-y_i)\cdot x_i]\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

然后我们就得到了参数$w$的更新公式，如下：

$$\begin{array}{rl}{w}^{\prime }=& w-lr\cdot (-L(w{)}^{\prime })\\ =& w-lr\cdot (\sum _{i=1}^N[(\frac{exp(w\cdot x_i)}{1+exp(w\cdot x)}-y_i)\cdot x_i])\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

关于优化方法的选择，最开始是选择西瓜书上提供的牛顿法来实现的，牛顿法的好处是，可以获得较快的收敛速度，但是坏处是，当海森矩阵为奇异矩阵时，会出现无法求解的情况。

因此，可以采用拟牛顿法进行优化，在解决这个问题的同时，也可以很快的收敛。

但是，自己对拟牛顿法并不熟悉，而梯度下降法虽然收敛可能较慢，但是实现起来较为简单，因此这里采用了梯度下降法来优化似然函数。

四、基于weka的代码实现

package weka.classifiers.myf;

import weka.classifiers.Classifier;
import weka.core.Instance;
import weka.core.Instances;
import weka.core.matrix.Matrix;
import weka.filters.Filter;
import weka.filters.unsupervised.attribute.NominalToBinary;
import weka.filters.unsupervised.attribute.Standardize;

import java.util.Arrays;

/**
 * @author YFMan
 * @Description 自定义的 Logistic 回归分类器
 * @Date 2023/6/13 11:02
 */
public class myLogistic extends Classifier {
    // 用于存储 线性回归 系数 的数组
    private double[] m_Coefficients;

    // 类别索引
    private int m_ClassIndex;

    // 牛顿法的迭代次数
    private int m_MaxIterations = 1000;

    // 属性数量
    private int m_numAttributes;

    // 系数数量
    private int m_numCoefficients;

    // 梯度下降步长
    private double m_lr = 1e-4;

    // 标准化数据的过滤器
    public static final int FILTER_STANDARDIZE = 1;

    // 用于标准化数据的过滤器
    protected Filter m_StandardizeFilter = null;

    // 用于将 normal 转为 binary 的过滤器
    protected Filter m_NormalToBinaryFilter = null;


    /*
     * @Author YFMan
     * @Description 采用牛顿法来训练 logistic 回归模型
     * @Date 2023/5/9 22:08
     * @Param [data] 训练数据
     * @return void
     **/
    public void buildClassifier(Instances data) throws Exception {
        // 设置类别索引
        m_ClassIndex = data.classIndex();

        // 设置属性数量
        m_numAttributes = data.numAttributes();

        // 系数数量 = 输入属性数量 + 1（截距参数b）
        m_numCoefficients = m_numAttributes;

        // 初始化 系数数组
        m_Coefficients = new double[m_numCoefficients];
        Arrays.fill(m_Coefficients, 0);

        // 将输入数据进行标准化
        m_StandardizeFilter = new Standardize();
        m_StandardizeFilter.setInputFormat(data);
        data = Filter.useFilter(data, m_StandardizeFilter);

        // 将类别属性转为二值属性
        m_NormalToBinaryFilter = new NominalToBinary();
        m_NormalToBinaryFilter.setInputFormat(data);
        data = Filter.useFilter(data, m_NormalToBinaryFilter);

        // 梯度下降法
        for(int curPerformIteration = 0; curPerformIteration < m_MaxIterations;curPerformIteration++){

            double[] deltaM_Coefficients = new double[m_numCoefficients];
            // 计算 l(w) 的一阶导数
            for(int i = 0;i<data.numInstances();i++){

                double yi = data.instance(i).value(m_ClassIndex);
                double wxi = 0;
                int column = 0;
                for(int j=0;j<m_numAttributes;j++){
                    if(j!=m_ClassIndex){
                        wxi += m_Coefficients[column] * data.instance(i).value(j);
                        column++;
                    }
                }
                // 加上截距参数 b
                wxi += m_Coefficients[column];
                double pi1 = Math.exp(wxi) / (1 + Math.exp(wxi));
                for(int k=0;k<m_numCoefficients - 1;k++){
                    deltaM_Coefficients[k] += m_lr * (pi1 - yi) * data.instance(i).value(k);
                }
                // 这里计算 bias b 对应的更新量
                deltaM_Coefficients[m_numCoefficients - 1] += m_lr * (pi1 - yi);
            }

            // 进行参数更新
            for(int k=0;k<m_numCoefficients;k++){
                m_Coefficients[k] -= deltaM_Coefficients[k];
            }

            // 如果参数更新量小于阈值，则停止迭代
            double delta = 0;
            for(int k=0;k<m_numCoefficients;k++){
                delta += deltaM_Coefficients[k] * deltaM_Coefficients[k];
            }
            if(delta < 1e-6){
                break;
            }

        }
    }


    /*
     * @Author YFMan
     * @Description // 分类实例
     * @Date 2023/6/16 11:17
     * @Param [instance]
     * @return double[]
     **/
    public double[] distributionForInstance(Instance instance) throws Exception {

        // 将输入数据进行标准化
        m_StandardizeFilter.input(instance);
        instance = m_StandardizeFilter.output();

        // 将输入属性二值化
        m_NormalToBinaryFilter.input(instance);
        instance = m_NormalToBinaryFilter.output();

        double[] result = new double[2];
        result[0] = 0;
        result[1] = 0;
        int column = 0;
        for(int i=0;i<m_numAttributes;i++){
            if(m_ClassIndex != i){
                result[0] += instance.value(i) * m_Coefficients[column];
                column++;
            }
        }
        result[0] += m_Coefficients[column];
        result[0] = 1 / (1 + Math.exp(result[0]));

        result[1] = 1 - result[0];

        return result;
    }

    /*
     * @Author YFMan
     * @Description 主函数 生成一个线性回归函数预测器
     * @Date 2023/5/9 22:35
     * @Param [argv]
     * @return void
     **/
    public static void main(String[] argv) {
        runClassifier(new myLogistic(), argv);
    }
}